Question

已知函數(shù)f（x）=cos²（x-

π

4

）-sin²（x-

π

4

）-

2

sin（x-

π

4

）cosx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）銳角三角形ABC的三內(nèi)角分別為角A、B、C且f（

A

2

-

π

8

）=

2+ 6

4

，求sinB+sinC的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）利用f（

A

2

-

π

8

）的值求得∠A，進(jìn)而求得∠B的范圍，對(duì)sinB+sinC進(jìn)行變形化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)∠B的范圍求得其取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos²（x-

π

4

）-sin²（x-

π

4

）-

2

sin（x-

π

4

）cosx
=cos2（x-

π

4

）-

2

（

2

2

sinx-

2

2

cosx）cosx
=sin2x-sinxcosx+cos²x
=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

∴當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2k+

π

2

（k∈Z）時(shí)，即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），函數(shù)f（x）單調(diào)增，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．
（2）∵f（

A

2

-

π

8

）=

2

2

sin（A+

π

4

）+

1

2

=

2+ 6

4

，
∴sinA=

3

2

∵三角形ABC為銳角三角形，
∴∠A=

π

3

∵0＜∠C＜

π

2

，∠C=

2π

3

-∠B
∴

π

6

＜∠B＜

π

2

，
∴sinB+sinC=sinB+sin（B+

π

3

）=

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

sin（B+

π

6

）
∵

π

6

＜∠B＜

π

2

，
∴

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin（B+

π

6

）≤1
∴

3

2

＜

3

sin（B+

π

6

）≤

3

∴sinB+sinC的取值范圍是（

3

2

，

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的基本性質(zhì)．做此類題要求學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基本性質(zhì)，相關(guān)公式熟練記憶．