Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）-1．
（1）試探究函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）若f（2）=3，試解不等式f（x²）+f（1-4x）＜6．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0，求出f（0）=1，令y=-x得到f（x）+f（-x）=2，令x₁＜x₂，由條件推出f（x₁）＜f（x₂），即可判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）運(yùn)用賦值，求出f（4）=5，由條件，得到f[x²+（1-4x）]＜f（4），再由單調(diào)性，得到x²+（1-4x）＜4
求出解集即可．

解答： 解：（1）令x=y=0則f（0）=2f（0）-1，f（0）=1，
令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）-1=1，f（x）+f（-x）=2
令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵x＞0時(shí)f（x）＞1
∴f（x₂-x₁）＞1
即f（x₂）+f（-x₁）-1＞1
∵f（-x₁）+f（x₁）=2
∴f（x₂）-f（x₁）＞0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）∵f（2）=3，
∴f（4）=2f（2）-1=2×3-1=5
又f（x²）+f（1-4x）＜6即1+f[x²+（1-4x）]＜6
f[x²+（1-4x）]＜5=f（4）
∵f（x）在R上是增，
∴x²+（1-4x）＜4
∴2-

7

＜x＜2+

7

即解集為（2-

7

，2+

7

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，注意定義的運(yùn)用，同時(shí)考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，務(wù)必掌握．