Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的零點(diǎn)為x₁，x₂（x₁＜x₂），f（x）的最小值y₀∈[x₁，x₂），則函數(shù)y=f（f（x））的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：如圖所示，由于函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的零點(diǎn)為x₁，x₂（x₁＜x₂），可得△=b²-4ac＞0．由f（f（x））=af²（x）+bf（x）+c=0，利用△＞0，可得f（x）=x₁或f（x）=x₂．已知函數(shù)f（x）的最小值為y₀，且y₀∈[x₁，x₂），畫出直線y=x₂．y=x₁．即可得出交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：如圖所示，
∵函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的零點(diǎn)為x₁，x₂（x₁＜x₂），∴△=b²-4ac＞0．
由f（f（x））=af²（x）+bf（x）+c=0，△＞0，
∴f（x）=x₁或f（x）=x₂．
∵函數(shù)f（x）的最小值為y₀，且y₀∈[x₁，x₂），
畫出直線y=x₂．y=x₁．
則直線y=x₂．與y=f（x）必有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)f（x）=x₂．
有2個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y=f（f（x））由兩個(gè)零點(diǎn)．
直線y=x₁與y=f（x）可能有一個(gè)交點(diǎn)或無交點(diǎn)，
此時(shí)f（x）=x₁有一個(gè)實(shí)數(shù)根x=-

b

2a

或無實(shí)數(shù)根．
綜上可知：函數(shù)y=f（f（x））的零點(diǎn)由2個(gè)或3個(gè)．
故答案為：2或3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．