Question

設(shè)數(shù)列{a_n}，如果存在常數(shù)a，對于任意給定的正數(shù)q（無論多�。�，總存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n＞M時，恒有|a_n-a|＜q成立，就稱數(shù)列{a_n}為收斂數(shù)列，且收斂于a．則下列結(jié)論中，正確的是

 

①等差數(shù)列{a_n}一定不是收斂數(shù)列；
②等比數(shù)列的公比q滿足|q|＜1，前n項(xiàng)和為S_n，則數(shù)列{S_n}收斂；
③等差數(shù)列{a_n}公差不為0，數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為S_n，則數(shù)列{S_n}收斂；
④數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=1+

(-1)n

n

，則{a_n}不收斂．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：首先，準(zhǔn)確理解收斂數(shù)列的概念，然后，逐個進(jìn)行判斷即可，對于對于①：可以舉出特例，例如常數(shù)數(shù)列則符合收斂的定義；對于對于②：則可以借助于無窮小遞縮等比數(shù)列的性質(zhì)求解；對于③：則結(jié)合拆項(xiàng)法的思想求解其和，然后判斷數(shù)列{S_n}的收斂情況；對于④：則利用該數(shù)列趨向于1，進(jìn)行判斷其收斂性．

解答： 解：對于①：
若該等差數(shù)列為常數(shù)列，則符合收斂的條件，
故①錯誤；
對于②：∵|q|＜1，
∴S_n=

a1(1-qn)

1-q

→

a1

1-q

，
∴數(shù)列{S_n}收斂；
對于③：等差數(shù)列{a_n}公差不為0，
設(shè)該數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
∴a_n=a₁+（n-1）d=nd+a₁-d，
∵

1

anan+1

=

1

d

(

1

an

-

1

an+1

)
∴Sn=

1

d

(

1

a1

-

1

a2

)+

1

d

(

1

a2

-

1

a3

)+…+

1

d

(

1

an

-

1

an+1

）
=

1

d

(

1

a1

-

1

an+1

)
∴Sn→

1

a1d

，
∴數(shù)列{S_n}收斂，
故③正確；
對于④：
∵數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=1+

(-1)n

n

，
∴a_n→1，
∴{a_n}收斂，
故④錯誤．
故答案為：②③．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了命題的真假判斷方法，同時結(jié)合數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、數(shù)列求和思想等，屬于中檔題．