Question

已知a，b，c∈N⁺，滿(mǎn)足abc（a+b+c）=1．
（1）求S=（a+c）（b+c）的最小值；
（2）當(dāng)S取最小值時(shí)，求c的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式

專(zhuān)題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由已知整理可得，c²+c（a+b）=

1

ab

，然后利用基本不等式可求S的最小值及滿(mǎn)足的條件：ab=1，
（2）由1=abc（a+b+c）=c（a+

1

a

+c）=c²+c（a+

1

a

）≥c²+2c，從而可得關(guān)于c的不等式，解不等式可求c的范圍，即可求出c的最大值．

解答： 解：（1）∵a，b，c∈N⁺，且abc（a+b+c）=1，
∴c²+c（a+b）=

1

ab

∴S=（a+c）（b+c）=ab+（a+b）c+c²=ab+

1

ab

≥2

ab• 1 ab

=2
當(dāng)且僅當(dāng)ab=

1

ab

，即ab=1時(shí)取等號(hào)
∴S_min=2；
（2）由（1）知1=abc（a+b+c）=c（a+

1

a

+c）=c²+c（a+

1

a

）≥c²+2c
∴c²+2c-1≤0
∵c＞0
∴0＜c≤

2

-1
∴c的最大值為

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，解答本題的技巧要注意體會(huì)掌握．