已知a，b，c∈N+，滿足abc（a+b+c）=1．
（1）求S=（a+c）（b+c）的最小值；
（2）當(dāng)S取最小值時(shí)，求c的最大值．
考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式
專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：（1）由已知整理可得，c2+c（a+b）=
1
ab
，然后利用基本不等式可求S的最小值及滿足的條件：ab=1，
（2）由1=abc（a+b+c）=c（a+
1
a
+c）=c2+c（a+
1
a
）≥c2+2c，從而可得關(guān)于c的不等式，解不等式可求c的范圍，即可求出c的最大值．
解答： 解：（1）∵a，b，c∈N+，且abc（a+b+c）=1，
∴c2+c（a+b）=
1
ab

∴S=（a+c）（b+c）=ab+（a+b）c+c2=ab+
1
ab
≥2
ab•
1
ab
=2
當(dāng)且僅當(dāng)ab=
1
ab
，即ab=1時(shí)取等號(hào)
∴Smin=2；
（2）由（1）知1=abc（a+b+c）=c（a+
1
a
+c）=c2+c（a+
1
a
）≥c2+2c
∴c2+2c-1≤0
∵c＞0
∴0＜c≤
2
-1
∴c的最大值為
2
-1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，解答本題的技巧要注意體會(huì)掌握．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

仔細(xì)觀察下面的不等式，尋找規(guī)律，合理猜想出第n個(gè)不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．
（1+
1
1
）＞
3
，（1+
1
1
）（1+
1
3
）＞
5
，（1+
1
1
）（1+
1
3
）（1+
1
5
）＞
7
，（1+
1
1
）（1+
1
3
）（1+
1
5
）（1+
1
7
）＞
9
，（1+
1
1
）（1+
1
3
）（1+
1
5
）（1+
1
7
）（1+
1
9
）＞
11
．…

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sinx+siny=
2
3
，求
2
3
+siny-cos2x的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）計(jì)算：sin420°•cos750°+sin（-330°）•cos（-660°）
（2）求證：（cosβ-1）2+sin2β=2-2cosβ

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2
cos（
x
2
+
π
4
）+1
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[0，2π]，求f（x）的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C1的參數(shù)方程為
x=2cosφ
y=2sinφ
（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin（θ+
π
3
）．
（1）將圓C1的參數(shù)方程化為普通方程，將圓C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）圓C1，C2是否相交？若相交，請(qǐng)求出公共弦長，若不相交，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知fn（x）=（1+x）n，（x≠0且x≠-1，n∈N*）
（1）設(shè)g（x）=f3（x）+f4（x）+…+f10（x），求g（x）中含x3的項(xiàng)的系數(shù)．
（2）若fn（x）=a0+a1（x-2）+a2（x-2）2+…+an（x-2）n，設(shè)Sn=
n
i=1
ai，試比較Sn與（n-2）•3n+（n+1）2的大小，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an＞0，且Sn=
an2+an
2
（n∈N*）
（Ⅰ）求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足b1=2，bn+1=2bn+an，求證：數(shù)列{bn+n+1}是等比數(shù)列．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

不等式|x-1|+|x+2|≤a+
2
a
，（a＞1）的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的最小值為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案