Question

8．如圖所示，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE為等邊三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB=2CD=2BC=2，P為CE中點．
（1）求證：AB⊥DE；
（2）求三棱錐D-ABP的體積．

Answer 1

分析 （1）取AB中點O，連結(jié)OD，OE，通過證明AB⊥平面ODE，然后推出AB⊥DE．
（2）利用等體積轉(zhuǎn)化法，求解即可．

解答 解：（1）證明：取AB中點O，連結(jié)OD，OE，
因為△ABE是正三角形，所以AB⊥OE．
因為四邊形ABCD是直角梯形，$DC=\frac{1}{2}AB$，AB∥CD，
所以四邊形OBCD是平行四邊形，OD∥BC，
又AB⊥BC，所以AB⊥OD．
所以AB⊥平面ODE，
所以AB⊥DE．
（2）解：${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}AB•BC=\frac{2×1}{2}$=1，P為CE中點，則P到平面ABCD的距離為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
${V}_{D-ABP}={V}_{P-ABD}=\frac{1}{3}×\frac{2×1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．