Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點A（-1，1），離心率為

6

3

（I）求橢圓C的方程
（II）設(shè)點B是點A關(guān)于原點的對稱點，P是橢圓C上的動點（不同于A，B），直線AP，BP分別與直線x=3交于點M，N，問是否存在點P使得△PAB和△PMN的面積相等，若存在，求出點P的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

1 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2 c a = 6 3

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）B點坐標為（1，-1），假設(shè)存在這樣的點P（x₀，y₀），設(shè)出直線AP的方程和直線BP的方程，由直線AP，BP分別與直線x=3交于點M，N，得△PMN的面積=

|x0+y0|(3-x0)2

|x02-1|

，△PAB的面積=|x₀+y₀|，由此能確定存在點P使得△PAB和△△PMN的面積相等，并能求出點P坐標．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點A（-1，1），離心率為

6

3

，
∴

1 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2 c a = 6 3

，解得a²=4，b²=

4

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

3y2

4

=1．
（Ⅱ）如圖，B點坐標為（1，-1），假設(shè)存在這樣的點P（x₀，y₀），
則直線AP的方程為y-1=

y0-1

x0+1

(x-1)，
直線BP的方程為y+1=

y0+1

x0-1

(x+1)，
∵直線AP，BP分別與直線x=3交于點M，N，
∴令x=3，得yM=

4y0+x0-3

x0+1

，yN=

2y0-x0+3

x0-1

，
∴△PMN的面積S△PMN=

1

2

|y_M-y_N|（3-x₀）
=

|x0+y0|(3-x0)2

|x02-1|

，
又∵AB=2

2

，直線AB的方程為x+y=0，
∴點P到直線AB的距離d=

|x0+y0|

2

，
∴△PAB的面積S_△PAB=

1

2

AB•d=|x₀+y₀|，
∵點P不同于A，B，∴|x₀+y₀|≠0，
∴（3-x₀）²=|x02-1|，
解得x0=

5

3

，從而y₀=±

33

9

，
∴存在點P使得△PAB和△△PMN的面積相等，點P坐標為（

5

3

，±

33

9

）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點是否存在的確定，綜合性強，難度大，具有一定的確定