Question

已知f（x）=x-

a

x

（a＞0），g（x）=2lnx+bx，且直線y=2x-2與曲線y=g（x）相切．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若對[1，+∞）內(nèi)的一切實x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)出切點坐標(biāo)，求出函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)，把切點橫坐標(biāo)分別代入曲線和直線方程，由縱坐標(biāo)相等得一關(guān)系式，再由切點處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率得另一關(guān)系式，聯(lián)立后求得b的值；
（Ⅱ）把b的值代入函數(shù)解析式，把不等式f（x）≥g（x）恒成立分離變量轉(zhuǎn)化為a≤x²-2xlnx恒成立，
構(gòu)造輔助函數(shù)h（x）=x²-2xlnx，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值得答案．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點（x₀，y₀）為直線y=2x-2與曲線y=g（x）的切點，
則有2lnx₀+bx₀=2x₀-2      （*）
∵g′(x)=

2

x

+b，
∴

2

x0

+b=2   （**）
聯(lián)立（*）（**）兩式，解得b=0；
（Ⅱ）∵b=0，
∴g（x）=2lnx．
由f（x）≥g（x）整理，得

a

x

≤x-2lnx，
∵x≥1，
∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必須a≤x²-2xlnx恒成立．
設(shè)h（x）=x²-2xlnx，h′(x)=2x-2(lnx+x•

1

x

)=2x-2lnx-2，
再設(shè)m（x）=2x-2lnx-2，
∴當(dāng)x≥1時，m′（x）＞0，則h′（x）是增函數(shù)，
∴h′（x）≥h′（1）=0，h（x）是增函數(shù)，h（x）≥h（1）=1，
∴a≤1，又已知a＞0，
∴0＜a≤1．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了分離變量法和函數(shù)構(gòu)造法，運用二次求導(dǎo)求函數(shù)的最值是解答該題的關(guān)鍵，是壓軸題．