Question

已知向量

m

=（sin

ωx

2

，1），

n

=（

3

Acos

ωx

2

，

A

2

cosωx）（A＞0，ω＞0），函數(shù)f（x）=

m

•

n

的最大值為6，最小正周期為π．
（1）求A、ω的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

2

個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在[0，

5π

6

]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=A•sin（ωx+

π

6

），根據(jù)函數(shù)f（x）=

m

•

n

的最大值為6，最小正周期為π，求得A和ω．
（2）由（1）可得函數(shù)y=f（x）=6sin（2x+

π

6

），再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得=g（x）=-6sin（2x+

π

6

）+1，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得g（x）在[0，

5π

6

]上的值域．

解答： 解：（1）由題意可得函數(shù)f（x）=

m

•

n

=

3

Acos

ωx

2

•sin

ωx

2

+

A

2

cosωx
=

3

2

A•sinωx+

A

2

cosωx=A•sin（ωx+

π

6

），
∵函數(shù)f（x）=

m

•

n

的最大值為6，最小正周期為π，∴A=6，

2π

ω

=π，ω=2．
（2）由（1）可得函數(shù)y=f（x）=6sin（2x+

π

6

），
把它的圖象向左平移

π

2

個(gè)單位，可得函數(shù)y=6sin[2（x+

π

2

）+

π

6

]=6sin（2x+π+

π

6

）=-6sin（2x+

π

6

）的圖象，
再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）=-6sin（2x+

π

6

）+1 的圖象．
∵0≤x≤

5π

6

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

11π

6

，
故當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時(shí)，6sin（2x+

π

6

）取得最大值為6，函數(shù)g（x）取得最小值為-5，
當(dāng)2x+

π

6

=

3π

2

時(shí)，6sin（2x+

π

6

）取得最小值為-6，函數(shù)g（x）取得最大值為7，
故函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇-5，7]．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．