Question

已知函數(shù)f（x²-1）=log_m

x2

2-x2

（m＞O且m≠1）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并判斷奇偶性；
（2）解關(guān)于x的方程f（x）=log_m

1

x

；
（3）若m＞1，解關(guān)于x的不等式f（x）≥log_m（3x+1）．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x²-1=t，可得f（t）=logm

t+1

1-t

．令

t+1

1-t

＞0，求得t的范圍，可得f（x）的解析式以及定義域．
（2）解關(guān)于x的方程即 logm

x+1

1-x

=log_m

1

x

，可得

-1＜x＜1 1 x ＞0 x+1 1-x = 1 x

．由此求得x的值，即是原方程的解．
（3）m＞1，關(guān)于x的不等式即 logm

x+1

1-x

≥log _m（3x+1），根據(jù)

x+1

1-x

≥3x+1＞0，求得x的范圍．

解答： 解：（1）令x²-1=t，求得 x²=t+1＞0，t＞-1，t+1≠2，f（t）=logm

t+1

1-t

．
令

t+1

1-t

＞0，求得-1＜t＜1，
∴f（x）=logm

x+1

1-x

，（-1＜x＜1）．
∴f（-x）+f（x）=log_m

-x+1

1+x

+log_m

x+1

1-x

=log_m1=0
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）解關(guān)于x的方程f（x）=log_m

1

x

，即 logm

x+1

1-x

=log_m

1

x

，
∴

-1＜x＜1 1 x ＞0 x+1 1-x = 1 x

．
解得x=-1+

2

，即是原方程的解．
（3）m＞1，關(guān)于x的不等式f（x）≥log _m（3x+1），即 logm

x+1

1-x

≥log _m（3x+1），
∴

x+1

1-x

≥3x+1＞0，即

3x+1＞0 3x2-x x-1 ≤0

．
解得-

1

3

＜x≤0，或

1

3

≤x＜1，原不等式的解集為（-

1

3

，0]∪[

1

3

，1）．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，對數(shù)方程、對數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．