Question

【題目】已知公差大于零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)的值．

（3）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得對任意的均成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，所以，

又，所以，是方程的兩個根，（2分）

由解得，，

設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，所以，

所以，，所以，解得，（3分）

所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（4分）

（2）由（1）知，，所以，

所以，，，（5分）

因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，即，

即，解得（舍去），（7分）

當(dāng)時，，易知數(shù)列是等差數(shù)列，滿足題意．

故非零常數(shù)的值為．（8分）

（3）由題可得，（10分）

利用裂項(xiàng)相消法可得，故，（11分）

所以存在正整數(shù)，使得對任意的均成立，

所以的最小值為．（12分）