Question

已知點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且兩直線的斜率k_AM、k_BM滿足k_AM-k_BM=2．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)軌跡C與y軸的交點(diǎn)為T，是否存在平行于AT的直線l，使得直線l與軌跡C有公共點(diǎn)，且直線AT與l的距離等于

2

2

？若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）B（1，0），設(shè)M（x，y），則x≠±1，由k_AM-k_BM=2，得

y

x+1

-

y

x-1

=2，由此能求出點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）在方程y=-x²+1中，k_AT=1，假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y=x+m，由

y=1-x2 y=x+m

，得x²+x+m-1=0，由此求出滿足題意的直線l存在，其方程為y=x．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，
∴B（1，0），設(shè)M（x，y），則x≠±1，
由k_AM-k_BM=2，得

y

x+1

-

y

x-1

=2，
整理，得y=-x²+1，
∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為y=-x²+1，x≠±1．
（2）在方程y=-x²+1中，令x=0，得y=1，即點(diǎn)T（0，1），
∴k_AT=1，
假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y=x+m，
由

y=1-x2 y=x+m

，消去y，得x²+x+m-1=0，①
∵直線l與軌跡C有公共點(diǎn)，
∴方程①的根的判別式△=1-4（m-1）≥0，
即m≤

5

4

，
又由直線AT與l的距離等于

2

2

，得

|m-1|

2

=

2

2

，
解得m=0或m=2，
∵2∉（-∞，

5

4

]，0∈（-∞，

5

4

]，
∴滿足題意的直線l存在，其方程為y=x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．