Question

18．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-3，0）、F₂（3，0），直線y=kx與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若三角形AF₁F₂的周長為$4\sqrt{3}+6$，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若$2\sqrt{3}＜a＜3\sqrt{2}$，且以AB為直徑的圓過橢圓的右焦點(diǎn)，求直線y=kx斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{2a+2c=4\sqrt{3}+6}\end{array}\right.$，求出a、c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，依題意，AF₂⊥BF₂，利用向量數(shù)量積為0得到關(guān)于a，k的關(guān)系式，在結(jié)合a的范圍得答案．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{2a+2c=4\sqrt{3}+6}\end{array}\right.$，得a=2$\sqrt{3}$，c=3．
結(jié)合a²=b²+c²，解得a²=12，b²=3．
橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得（b²+a²k²）x²-a²b²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=0，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
依題意，AF₂⊥BF₂，
∵$\overrightarrow{{F}_{2}A}=（{x}_{1}-3，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{{F}_{2}B}=（{x}_{2}-3，{y}_{2}）$，
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}•\overrightarrow{{F}_{2}B}$=$（{x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）+{y}_{1}{y}_{2}=（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+9$=0．
即$\frac{-{a}^{2}（{a}^{2}-9）（1+{k}^{2}）}{{a}^{2}{k}^{2}+（{a}^{2}-9）}+9=0$，
將其整理為${k}^{2}=\frac{{a}^{4}-18{a}^{2}+8{1}^{2}}{-{a}^{4}+18{a}^{2}}=-1-\frac{81}{{a}^{4}-18{a}^{2}}$．
∵$2\sqrt{3}＜a＜3\sqrt{2}$，∴12≤a²＜18．
∴${k}^{2}≥\frac{1}{8}$，即k∈$（-∞，-\frac{{\sqrt{2}}}{4}）∪（\frac{{\sqrt{2}}}{4}，+∞）$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，是壓軸題．