Question

k為

 

時(shí)，直線y-1=k（x-1）能垂直平分拋物線y²=x的一條弦AB．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：直線的方程為y-1=k（x-1），求出恒過的定點(diǎn)，直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求這條弦所在的直線方程．

解答： 解：直線的方程為y-1=k（x-1）（k≠0），求出恒過的定點(diǎn)（1，1），
當(dāng)拋物線過點(diǎn)P（1，1）的弦l⊥x軸時(shí)，其方程為x=1，不能被點(diǎn)P平分；
當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，直線的方程為y-1=k（x-1）（k≠0），
由

y-1=k(x-1) y2=x

得：ky²-y+（1-k）=0，
∴y₁+y₂=

1

k

，y₁y₂=

1-k

k

；
由題意，

y1+y2

2

=1，即

1

k

=1⇒k=1．
k=1時(shí)，直線y-1=k（x-1）能垂直平分拋物線y²=x的一條弦AB．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．