Question

已知函數f（x）=2x-e^2x+2，函數g（x）=ln（mx+1）+

1-x

1+x

，其中x≥0，m＞0．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）對于任意的x≥0，若恒有g（x）≥f（x）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的性質,函數單調性的判斷與證明,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）求出函數的導函數，分析導函數在定義域上各個區(qū)間上的符號，進而可得函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）對于任意的x≥0，若恒有g（x）≥f（x）成立，則由f（x）最大值為1可得：g（x）≥1對于任意的x≥0恒成立，分m≥2時和0＜m＜2時，兩種情況討論，最后綜合討論結果可得答案．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=2x-e^2x+2，
∴f′（x）=2-2e^2x，
在（-∞，0）上，f′（x）＞0，故函數的增區(qū)間為（-∞，0）．
在（0，∞）上，f′（x）＜0，故函數的減區(qū)間為（0，+∞）．
（2）由（1）得，當x=0時，f（x）=2x-e^2x+2取最大值1，
若對于任意的x≥0，恒有g（x）≥f（x）成立，
則g（x）≥1對于任意的x≥0恒成立，
∵g′（x）=

m

mx+1

+

-2

(1+x)2

=

mx2+m-2

(mx+1)(1+x)2

，
∵x≥0，m＞0．
∴mx+1＞0，
①當m≥2時，在區(qū)間（0，+∞）上，g′（x）＞0，
∴g（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞），則當x=0時，g（x）取最小值1，滿足條件；
②當0＜m＜2時，令g′（x）＞0，解得：x＞

2-m m

，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜

2-m m

，
故當x=

2-m m

時，函數取最小值，此時f（

2-m m

）＜f（0）=1，不滿足條件，
綜上所述：m的取值范圍為[2，+∞）

點評：本題考查的知識點是函數單調性的性質，函數單調性的判斷與證明，函數恒成立問題，是函數與導數的綜合應用，難度較大．