Question

15．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足$\sqrt{3}ccos{A}=asinC$．
（1）若4sinC=c²sinB，求△ABC的面積；
（2）若$\overrightarrow{{A}{B}}•\overrightarrow{{A}C}=4$，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件結(jié)合正弦定理得：$\sqrt{3}sinCcos{A}=sin{A}sinC$，解得tanA的值，結(jié)合范圍0＜A＜π，可求A的值，由正弦定理得化簡(jiǎn)可求bc=4，利用三角形面積公式即可得解．
（2）利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可求得bc=8，利用余弦定理及基本不等式可求a的最小值．

解答 解：由條件結(jié)合正弦定理得：$\sqrt{3}sinCcos{A}=sin{A}sinC$，
從而$sin{A}=\sqrt{3}cos{A}$，$tan{A}=\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，
∴${A}=\frac{π}{3}$．…（3分）
（1）由正弦定理得：4c=c²b，∴bc=4，
∴${S_{△{A}{B}C}}=\frac{1}{2}bcsin{A}=\sqrt{3}$．…（5分）
（2）$\overrightarrow{{A}{B}}•\overrightarrow{{A}C}=cbcos{60°}=4$⇒bc=8．
又a²=b²+c²-2bccos60°≥2bc-bc=8，當(dāng)且僅當(dāng)$b=c=2\sqrt{2}$時(shí)，等號(hào)成立．
∴${a_{min}}=2\sqrt{2}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式，正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．