Question

1．在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知cosC+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosA=0，
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面積S=5$\sqrt{3}$，b=5，求sinBsinC的值．

Answer 1

分析 （1）利用和差化積、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)求值即可得出．
（2）利用三角形的面積計(jì)算公式、正弦定理余弦定理即可得出．

解答 解：（1）由驗(yàn)證可得：$-cos（{A+B}）+cosBcosA-\sqrt{3}sinBcosA=0$，
化為$sinAsinB-\sqrt{3}sinBcosA=0$，又sinB≠0，
∴$sinA-\sqrt{3}cosA=0$，又cosA≠0，
∴$tanA=\sqrt{3}$，
又0＜A＜π，故$A=\frac{π}{3}$．
（2）∵$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc=5\sqrt{3}$，得bc=20，又b=5，∴c=4．
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=21，故$a=\sqrt{21}$，
又由正弦定理得$sinCsinB=\frac{c}{a}sinA•\frac{a}sinA=\frac{bc}{a^2}{sin^2}A=\frac{5}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了和差化積、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)求值、三角形的面積計(jì)算公式、正弦定理余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．