Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)A，C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
（1）若橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且A（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1}{2}$），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)D為直線BC與x軸的交點(diǎn)，E為橢圓上一點(diǎn)，且A，D，E三點(diǎn)共線，若直線AB，BE的斜率分別為k₁，k₂，試問(wèn)，k₁•k₂是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)加以說(shuō)明．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且A（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1}{2}$），建立方程，求出a，b，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由題意，設(shè)A（m，n），則D（-m，0），求出直線AD的方程，可得E的坐標(biāo)，再求k₁•k₂為定值．

解答 解：（1）∵橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且A（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\frac{3}{2}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{^{2}}$=1，
∴a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）不妨設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），x₁＞0，y₁＞0，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知帶你C，B的坐標(biāo)分別為（-x₁，y₁），（-x₁，-y₁），D（x₁，0），設(shè)點(diǎn)E（x₂，y₂）．
因?yàn)辄c(diǎn)A，E都在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上，所以有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1和有$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1．
既有$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=0，即$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=-$\frac{^{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{a}^{2}（{y}_{2}-{y}_{1}）}$．
又直線AB的斜率k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$．直線BE的斜率k₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$．
由題意得k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}（{y}_{2}+{y}_{1}）}{{x}_{1}（{x}_{2}+{x}_{1}）}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$（-$\frac{^{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{a}^{2}（{y}_{2}-{y}_{1}）}$）
因?yàn)锳，D，E三點(diǎn)共線，所以k_AE=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$與k_AD=$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}-（-{x}_{1}）}$=$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$相等．
即$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$，所以k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$（-$\frac{^{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{a}^{2}（{y}_{2}-{y}_{1}）}$）=-$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}$為定值．
故k₁•k₂為定值-$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查斜率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．