Question

4．設(shè)O是△ABC所在平面上一點(diǎn)，H是△ABC的垂心，并且$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$，∠A=60°，∠B=45°，|$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{3}$．
（1）求△ABC的外接圓半徑的長(zhǎng)；
（2）求$\overrightarrow{|OH|}$．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用正弦定理能求出△ABC的外接圓半徑的長(zhǎng)．
（2）由H是△ABC的垂心，且$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$，得O是△ABC的外心，由此利用$\overrightarrow{OH}$²=（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）²能求出|$\overrightarrow{OH}$|的長(zhǎng)．

解答 解：（1）設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，
∵△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，|$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{3}$．
∴2R=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，解得R=2，
∴△ABC的外接圓半徑的長(zhǎng)為2．
（2）∵H是△ABC的垂心，且$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$，
∴O是△ABC的外心，
∴|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=2，
∵∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=75°，
∴$\overrightarrow{OH}$²=（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）²
=${\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}+{\overrightarrow{OC}}^{2}$+2$|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|•cos150°$+2|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OC}$|•cos90°+2$|\overrightarrow{OB}|•|\overrightarrow{OC}|•cos120°$
=4+4+4-4$\sqrt{3}$-4
=8-4$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{OH}$|=$\sqrt{8-4\sqrt{3}}$=2$\sqrt{2-\sqrt{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形外接圓半徑的求法，考查向量的模的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量性質(zhì)的合理運(yùn)用．