Question

在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x-y+2=0，曲線C的參數(shù)方程為

x= 3 cosα y=sinα

（α為參數(shù)）．
（1）已知在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（2，

π

2

），判斷點P與直線l的位置關系；
（2）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最大值．

Answer 1

考點：橢圓的參數(shù)方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：對第（1）問，先將點P的極坐標化為直角坐標，再代入直線l的方程中驗證即可；
對第（2）問，根據(jù)C的參數(shù)方程，設Q（

3

cosα，sinα），然后利用點到直線的距離公式，寫出距離d關于α的表達式，再探求d的最大值．

解答： 解析：（1）設點P的直角坐標為（x，y），
則x=ρcosα=2×cos

π

2

=0，y=ρsinα=2×sin

π

2

=2，
即得P（0，2）．
因為點P的直角坐標（0，2）滿足直線l的方程x-y+2=0，所以點P在直線l上．
（2）因為點Q在曲線C上，故可設點Q的坐標為（

3

cosα，sinα），
從而點Q到直線l的距離為d=

| 3 cosα-sinα+2|

2

=

2cos(α+ π 6 )+2

2

，
由此知，當cos(α+

π

6

)=1時，d取得最大值2

2

．

點評：1．本題考查了極坐標化直角坐標及點與直線的位置關系，點到直線的距離公式，參數(shù)方程的應用等．
2．當然，本題也可以將點Q到直線l的距離轉化為兩平行直線間的距離，即先把曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，再設與直線l平行的直線l'：x-y+m=0，聯(lián)立C的方程，消去y，得到一個關于x的一元二次方程，由△=0得m的值，最后利用兩平行直線間的距離公式可得最大值．