【題目】已知函數f(x)=aln x+ (a∈R).
(1)當a=1時,求f(x)在x∈[1,+∞)內的最小值;
(2)若f(x)存在單調遞減區(qū)間,求a的取值范圍;
(3)求證ln(n+1)> (n∈N*).
【答案】(1)最小值為f(1)=1.(2)a< .(3)見解析
【解析】
試題(1)可先求f′(x),從而判斷f(x)在x∈[1,+∞)上的單調性,利用其單調性求f(x)在x∈[1,+∞)最小值;
(2)求h′(x),可得,若f(x)存在單調遞減區(qū)間,需h′(x)<0有正數解.從而轉化為:有x>0的解.通過對a分a=0,a<0與當a>0三種情況討論解得a的取值范圍;
(3)可用數學歸納法予以證明.當n=1時,ln(n+1)=ln2,3ln2=ln8>1,即時命題成立;設當n=k時,命題成立,即成立,再去證明n=k+1時,成立即可(需用好歸納假設).
試題解析:(1),定義域為.
在上是增函數.
.
(2)因為
因為若存在單調遞減區(qū)間,所以有正數解.
即有的解
當時,明顯成立 .
②當時,開口向下的拋物線,總有的解;
③當時,開口向上的拋物線,
即方程有正根.
因為,
所以方程有兩正根.
當時,;
,解得.
綜合①②③知:.
或:
有的解
即有的解,
即有的解,
的最大值,
(3)(法一)根據(Ⅰ)的結論,當時,,即.
令,則有,.
,
.
(法二)當時,.
,,即時命題成立.
設當時,命題成立,即.
時,.
根據(Ⅰ)的結論,當時,,即.
令,則有,
則有,即時命題也成立.
因此,由數學歸納法可知不等式成立.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某公司全年的純利潤為元,其中一部分作為獎金發(fā)給位職工,獎金分配方案如下首先將職工工作業(yè)績(工作業(yè)績均不相同)從大到小,由1到排序,第1位職工得獎金元,然后再將余額除以發(fā)給第2位職工,按此方法將獎金逐一發(fā)給每位職工,并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.
(1)設為第位職工所得獎金額,試求并用和表示(不必證明);
(2)證明并解釋此不等式關于分配原則的實際意義;
(3)發(fā)展基金與和有關,記為對常數,當變化時,求.(可用公式)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】為了了解地區(qū)足球特色學校的發(fā)展狀況,某調查機構得到如下統(tǒng)計數據:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
足球特色學校(百個) | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
(Ⅰ)根據上表數據,計算與的相關系數,并說明與的線性相關性強弱(已知:,則認為與線性相關性很強;,則認為與線性相關性一般;,則認為與線性相關性較弱);
(Ⅱ)求關于的線性回歸方程,并預測地區(qū)2019年足球特色學校的個數(精確到個)
參考公式:,,,,,.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】對于集合,定義函數對于兩個集合,定義集合. 已知, .
(Ⅰ)寫出和的值,并用列舉法寫出集合;
(Ⅱ)用表示有限集合所含元素的個數,求的最小值;
(Ⅲ)有多少個集合對,滿足,且?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,當P(x,y)不是原點時,定義P的“伴隨點”為;
當P是原點時,定義P的“伴隨點“為它自身,平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構成的曲線定義為曲線C的“伴隨曲線”.現有下列命題:
①若點A的“伴隨點”是點,則點的“伴隨點”是點A
②單位圓的“伴隨曲線”是它自身;
③若曲線C關于x軸對稱,則其“伴隨曲線”關于y軸對稱;
④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.
其中的真命題是_____________(寫出所有真命題的序列).
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數.
1當時,求曲線在處的切線方程;
2若是R上的單調遞增函數,求a的取值范圍;
3若函數對任意的實數,存在唯一的實數,使得成立,求a的值.
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【題目】一次考試中,5名同學的數學、物理成績如表所示:
學生 | |||||
數學分 | 89 | 91 | 93 | 95 | 97 |
物理分 | 87 | 89 | 89 | 92 | 93 |
請在圖中的直角坐標系中作出這些數據的散點圖,并求出這些數據的回歸方程;
要從4名數學成績在90分以上的同學中選2名參加一項活動,以X表示選中的同學的物理成績高于90分的人數,求隨機變量X的分布列及數學期望.
參考公式:線性回歸方程;,其中,.
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