Question

已知點(diǎn)A（0，2）拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|：|MN|=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而得到AF的斜率k=2．過M作MP⊥l于P，根據(jù)拋物線物定義得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根據(jù)tan∠NMP=-k=2，從而得到|PN|=2|PM|，進(jìn)而算出|MN|=

5

|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．

解答： 解：∵拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，2），
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為l：x=-1，直線AF的斜率為k=-2，
過M作MP⊥l于P，根據(jù)拋物線物定義得|FM|=|PM|，
∵Rt△MPN中，tan∠NMP=-k=2，
∴

|PN|

|PM|

=2，可得|PN|=2|PM|，
得|MN|=

|PN|2+|PM|2

=

5

|PM|
因此可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：

5

．
故答案為：1：

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線方程和射線FA，求線段的比值．著重考查了直線的斜率、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．