Question

下列命題：
①已知平面α，β，γ滿足α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，則l⊥γ．
②E，F(xiàn)，G，H是空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若對角線BD=2，AC=4，則EG²+HF²=10
③過△ABC所在平面α外一點(diǎn)P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的垂心．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離,簡易邏輯

分析：對于①，由面面垂直的判定和性質(zhì)加以證明；
對于②，作出圖形后，在三角形中利用余弦定理進(jìn)行求值；
對于③，由線面垂直的判定和性質(zhì)加以證明．

解答： 對于①，如圖，

∵α⊥γ，β⊥γ，
∴設(shè)α∩γ=a，β∩γ=b，
在γ內(nèi)任取一點(diǎn)P，過P作PA⊥a于A，作PB⊥b于B，
則PA⊥α，PB⊥β，進(jìn)一步得到PA⊥l，PB⊥l，
又PA∩PB=P，
∴l(xiāng)⊥γ．
命題①正確；
對于②，如圖，

由題意可知四邊形EFGH為平行四邊形，且EF=1，EF=2．
EG²=1²+2²-2×1×2×cos∠EFG，
HF²=1²+2²-2×1×2×cos∠HGF，
∵cos∠EFG=-cos∠HGF，
兩式作和得EG²+HF²=10．
命題②正確；
對于③，如圖，

∵PA⊥PB，PB⊥PC，PA∩PC=P，
∴PB⊥面PAC，
則PB⊥AC，
又PO⊥面ABC，
∴PO⊥AC，
可證AC⊥面PBO，
∴BO⊥AC，
同理可知AO⊥BC，
則點(diǎn)O是△ABC的垂心．
命題③正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了線面、面面垂直的判定和性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．