Question

6．若對于任意的x∈[-1，0]，關于x的不等式3x²+2ax+b≤0恒成立，則a²+b²-1的最小值為（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，結合二次函數(shù)f（x）=3x²+2ax+b的圖象得出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≤0}\\{f（0）≤0}\end{array}\right.$，畫出該不等式所表示的平面區(qū)域，設z=a²+b²-1，結合圖形求圓a²+b²=1+z的半徑的范圍即可．

解答 解：設f（a）=3x²+2ax+b，根據(jù)已知條件知：$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-2a+b+3≤0}\\{f（0）=b≤0}\end{array}\right.$；
該不等式表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，
設z=a²+b²-1，a²+b²=1+z；
∴該方程表示以原點為圓心，半徑為r=$\sqrt{1+z}$的圓；
原點到直線-2a+b+3=0的距離為d=$\frac{3}{\sqrt{5}}$；
∴該圓的半徑r=$\sqrt{1+z}$；
解得z≥$\frac{4}{5}$；
∴a²+b²-1的最小值是$\frac{4}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，也考查了線性規(guī)劃的應用問題和直線方程、圓的方程以及數(shù)形結的應用問題，是綜合性題目．