Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，△PCD為等邊三角形，BC=

2

AB，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，平面PCD⊥平面ABCD．
（1）求異面直線PD和AM所成角的余弦值；
（2）求二面角P-AM-D的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）取CD的中點(diǎn)O，連接OP，O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O垂直CD的直線為x軸，OC為y軸，OP為z軸，利用向量法能求出異面直線PD和AM所成角的余弦值．
（2）分別求出平面ADM的法向量和平面PAM的法向量，利用向量法能求出二面角P-AM-D的大�。�

解答： 解：（1）取CD的中點(diǎn)O，連接OP，
∵△PCD為等邊三角形，∴OP⊥CD，
又平面PCD⊥平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，…（2分）
以O(shè)為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O垂直CD的直線為x軸，OC為y軸，OP為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
∵BC=

2

AB，不妨設(shè)AB=2，則BC=2

2

，
依題意得：A（2

2

，-1，0），D（0，-1，0），
P（0，0，

3

），M（

2

，1，0），…（3分）
∴

PD

=(0，-1，-

3

)，

AM

=（-

2

，2，0），
從而

PD

•

AM

=-2，|

PD

|=2，|

AM

|=

6

，
∴cos＜

PD

，

AM

＞=

-2

2× 6

=-

6

6

．…（5分）
于是異面直線PD和AM所成角的余弦值為

6

6

．…（6分）
（2）∵OP⊥平面ABCD，∴

OP

=(0，0，

3

)是平面ADM的法向量，
設(shè)平面PAM的法向量為

n

=(x，y，z)，又

PA

=(2

2

，-1，-

3

)，
由

n • PA =2 2 x-y- 3 z=0 n • AM =- 2 x+2y=0

，令y=1，得

n

=（

2

，1，

3

），
∴cos＜

n

，

OP

＞=

3

6 × 3

=

2

2

，
∴二面角P-AM-D的大小為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．