Question

17．給定如下命題：
①若命題p：?x≥0，x²+x≥0，則?p：?x₀＜0，x₀²+x₀＜0
②若變量x，y線性相關(guān)，其回歸方程為$\widehat{y}$+x=2，則x，y正相關(guān)
③在△ABC中，BC=2，AC=3，∠B=$\frac{π}{3}$，則△ABC是銳角三角形
④將長為8的鐵絲圍成一個(gè)矩形框，則該矩形面積大于3的概率為$\frac{1}{2}$
⑤已知a＞b＞c＞0，且2b＞a+c，則$\frac{a-b}＞\frac{c}{b-c}$
其中正確命題是③④⑤（只填序號(hào)）

Answer 1

分析 直接寫出全稱命題的否定判斷①；由回歸方程為$\widehat{y}$+x=2，即$\widehat{y}=-x+2$，可知回歸系數(shù)小于0，得x，y負(fù)相關(guān)；利用余弦定理求出最大邊，再求出最大邊所對角的余弦值判斷③；列式求出滿足矩形面積大于3的矩形邊長的范圍，由幾何概型概率公式求出矩形面積大于3的概率判斷④；利用不等式的性質(zhì)判斷⑤．

解答 解：①若命題p：?x≥0，x²+x≥0，則?p：?x₀≥0，x₀²+x₀＜0．故①錯(cuò)誤；
②若變量x，y線性相關(guān)，其回歸方程為$\widehat{y}$+x=2，即$\widehat{y}=-x+2$，則x，y負(fù)相關(guān)．②錯(cuò)誤；
③在△ABC中，BC=2，AC=3，∠B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理，得AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos$\frac{π}{3}$，
即${3}^{2}={2}^{2}+A{B}^{2}-2×2×\frac{1}{2}AB$，解得AB=1+$\sqrt{6}$＞3，∴AB為最大邊，
而cos∠C=$\frac{{3}^{2}+{2}^{2}-（1+\sqrt{6}）^{2}}{2×2×3}=\frac{6-2\sqrt{6}}{12}＞0$，則△ABC是銳角三角形．③正確；
④設(shè)矩形的一邊長度為xcm，則另一邊長度為（4-x）cm，因此x的取值范圍是0＜x＜4，由矩形的面積S=x（4-x）＞3．
∴x²-4x+3＜0，解得1＜x＜3，
由幾何概率的求解公式可得，矩形面積大于32cm²的概率P=$\frac{1}{2}$．④正確；
⑤已知a＞b＞c＞0，且2b＞a+c，則b-c＞a-b＞0，$\frac{1}{a-b}＞\frac{1}{b-c}＞0$，∴$\frac{a-b}＞\frac{c}{b-c}$．⑤正確．
故答案為：③④⑤．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，訓(xùn)練了幾何概型的求法，考查了基本不等式的性質(zhì)，是中檔題．