Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2

3

，且經(jīng)過點(diǎn)（2，0），直線y=kx+m與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)△AOB面積為S，|AB|=2，S=1，求直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知條件得到a=2，c=

3

，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）聯(lián)立

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用點(diǎn)到直線距離公式、橢圓弦長公式和韋達(dá)定理能求出直線AB的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2

3

，且經(jīng)過點(diǎn)（2，0），
∴a=2，c=

3

，b2 =4-3=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（2）聯(lián)立

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
設(shè)A（x1 ，y1 ），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

8k

4k2+1

，x1x2=

4m2-4

4k2+1

，
O到直線AB的距離d=

|m|

k2+1

，
∵△AOB面積為S，|AB|=2，S=1，
∴

1

2

×2×

|m|

k2+1

=1，∴k²+1=m²，
|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k2m2 (1+4k2)2 - 4(4m2-4) 1+4k2 ]

=

48k2(1+k2)

1+4k2

=2，
∴4k⁴-4k²+1=0，解得k=±

2

2

，m=±

6

2

，
∴直線AB的方程y=±

2

2

x±

6

2

．

點(diǎn)評：本題考是橢圓方程和直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線距離公式、橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．