Question

已知函數(shù)y=-x³+3x-a在[0，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則常數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A、0≤a＜2
• B、-2≤a≤2
• C、-2＜a＜2
• D、0≤a≤2

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：通過(guò)對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：令f（x）=-x³+3x-a，x∈[0，2]．
則f′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，解得x=1．
列表如下：

x	[0，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

由表格可知：當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值即最大值，f（1）=2-a；又f（0）=-a，f（2）=-2-a．∴最小值為-2-a．
①當(dāng)a＜0時(shí)，f（1）＞0，f（0）＞0，f（2）≥-2，因此函數(shù)f（x）最多有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)a≥2時(shí)，f（1）＜0，因此函數(shù)f（x）無(wú)零點(diǎn)；
③當(dāng)0≤a＜2時(shí)，f（1）＞0，f（0）≤0，f（2）＜0，因此函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足條件．
綜上可得：只有當(dāng)0≤a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．