Question

已知函數(shù)f（x）=

x

ex

+m，m∈R．
（Ⅰ）當(dāng)m=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間、最大值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=|lnx|-f（x），若存在實(shí)數(shù)x₀使得g（x₀）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)m=0時(shí)，f'（x）=（xe^-x）'=e^-x-xe^-x=（1-x）e^-x，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間、最大值．
（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）=-lnx-f（x），當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）=lnx-f（x），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合已知條件能求出m的取值范圍．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）當(dāng)m=0時(shí)，f'（x）=（xe^-x）'=e^-x-xe^-x=（1-x）e^-x．（4分）
當(dāng)x＜1時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）上是增函數(shù)；（5分）
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；（6分）
所以f（x）的最大值為f(1)=

1

e

．（7分）
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），
單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞），最大值為

1

e

．
（Ⅱ）由已知x＞0．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）=-lnx-f（x），
g′(x)=-

1

x

+(x-1)e-x＜0，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)；（9分）
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）=lnx-f（x），g′(x)=

1

x

+(x-1)e-x＞0，
函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，（11分）
所以g（x）的最小值為g(1)=-

1

e

-m．（12分）
若存在實(shí)數(shù)x₀，使得g（x₀＜0），則-

1

e

-m＜0，解得m＞-

1

e

．
所以m的取值范圍為(-

1

e

，+∞)．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最大值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．