Question

【題目】已知某種商品每日的銷售量y（單位：噸）與銷售價(jià)格x（單位：萬(wàn)元/噸，1＜x≤5）滿足：當(dāng)1＜x≤3時(shí)，y=a（x﹣4）2 +（a為常數(shù)）；當(dāng)3＜x≤5時(shí)，y=kx+7（k＜0），已知當(dāng)銷售價(jià)格為3萬(wàn)元/噸時(shí)，每日可售出該商品4噸，且銷售價(jià)格x∈（3，5]變化時(shí)，銷售量最低為2噸．

（1）求a，k的值，并確定y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）若該商品的銷售成本為1萬(wàn)元/噸，試確定銷售價(jià)格x的值，使得每日銷售該商品所獲利潤(rùn)最大．

Answer 1

【答案】（1），；

（2）x=2萬(wàn)元/噸時(shí)，每日銷售該商品所獲利潤(rùn)最大．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知給出的表達(dá)式，由條件“銷售價(jià)格為3萬(wàn)元/噸時(shí)，每日可售出該商品4噸，且銷售價(jià)格x∈（3，5]變化時(shí)，銷售量最低為2噸”，可求得，從而函數(shù)解析式，注意解析式是分段函數(shù)；

（2）由（1）中所得銷售量乘以可得利潤(rùn)，當(dāng)1＜x≤3時(shí)，利潤(rùn)為

，利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可求得此時(shí)的最大值，當(dāng)3＜x≤5時(shí)，每日銷售利潤(rùn)f（x）=（﹣x+7）（x﹣1）=﹣x2+8x﹣7，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求得此時(shí)的最大值，兩者比較可得最大值．

試題解析：（1）因?yàn)閤=3時(shí)，y=4；所以a+3=4，得a=1

當(dāng)3＜x≤5時(shí)，y=kx+7（k＜0）在區(qū)間（3，5]單調(diào)遞減，當(dāng)x=5時(shí)，ymin=5k+7

因?yàn)殇N售價(jià)格x∈（3，5]變化時(shí)，銷售量最低為2噸，所以5k+7=2，得k=﹣1

故．

（2）由（1）知，當(dāng)1＜x≤3時(shí)，

每日銷售利潤(rùn)=x3﹣9x2+24x﹣10（1＜x≤3）

f'（x）=3x2﹣18x+24. 令f'（x）=3x2﹣18x+24＞0，解得x＞4或x＜2

所以f（x）在[1，2]單調(diào)遞增，在[2，3]單調(diào)遞減

所以當(dāng)x=2，f（x）max=f（2）=10，

當(dāng)3＜x≤5時(shí)，每日銷售利潤(rùn)f（x）=（﹣x+7）（x﹣1）=﹣x2+8x﹣7=﹣（x﹣4）2+9

f（x）在x=4時(shí)有最大值，且f（x）max=f（4）=9＜f（2）

綜上，銷售價(jià)格x=2萬(wàn)元/噸時(shí)，每日銷售該商品所獲利潤(rùn)最大．