Question

已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，試確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ）解：因?yàn)?sub>，，

所以．                               

令，得．                               

當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：

	↘		↗

故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為．

（Ⅱ）解：結(jié)論：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).                   

理由如下：

由，得方程，           

顯然為此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解. 

所以是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).                       

當(dāng)時(shí)，方程可化簡(jiǎn)為.                          

設(shè)函數(shù)，則，

令，得．

當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：

	↘		↗

即的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為．

所以的最小值.                  

因?yàn)?，

所以，

所以對(duì)于任意，，

因此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在零點(diǎn).

綜上，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).