Question

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時，試確定函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）解：因為，，

所以．                               

令，得．                               

當(dāng)變化時，和的變化情況如下：

	↘		↗

故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為．

（Ⅱ）解：結(jié)論：函數(shù)有且僅有一個零點.                   

理由如下：

由，得方程，           

顯然為此方程的一個實數(shù)解. 

所以是函數(shù)的一個零點.                       

當(dāng)時，方程可化簡為.                          

設(shè)函數(shù)，則，

令，得．

當(dāng)變化時，和的變化情況如下：

	↘		↗

即的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為．

所以的最小值.                  

因為 ，

所以，

所以對于任意，，

因此方程無實數(shù)解．

所以當(dāng)時，函數(shù)不存在零點.

綜上，函數(shù)有且僅有一個零點.