Question

已知函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的最小值和最小值時(shí)x的集合；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，且c=

3

，f（C）=0，若

m

=（1，sinA）與

n

=（2，sinB）共線，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，然后，借助于三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解最值即可；
（2）根據(jù)f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，求解C=

π

3

，然后，根據(jù)余弦定理和坐標(biāo)運(yùn)算求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，
∴函數(shù)f（x）的最小值為-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=kπ+

5π

6

，k∈Z，時(shí)取得，
最小值時(shí)x的集合{x|x=kπ+

5π

6

，k∈Z，}．
（2）∵f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，
∴sin（2C-

π

6

）=1，
∵0＜C＜π，
∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，
∴C=

π

3

，
∵

m

=(1，sinA)，與

n

=（2，sinB）共線，
∴

1

2

=

sinA

sinB

=

a

b

，①
∵c2=a2+b2-2abcos

π

3

=a2+b2-ab=3，②
∴聯(lián)立①②，解得
a=1，b=2．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角恒等變換公式、三角函數(shù)的性質(zhì)、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，屬于中檔題．