Question

已知點(diǎn)A（1，a），圓：x²+y²=4．
（1）若過(guò)點(diǎn)A的圓的切線(xiàn)只有一條，求a的值及切線(xiàn)方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)與圓相切，求a的值及切線(xiàn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（1）由過(guò)點(diǎn)A的圓的切線(xiàn)只有一條，說(shuō)明點(diǎn)A在圓上，把A的坐標(biāo)代入圓的方程，求得a值，求出圓心和切點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，則切線(xiàn)斜率可求，由點(diǎn)斜式求得切線(xiàn)方程；
（2）設(shè)出直線(xiàn)方程的截距式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求得a值，把a(bǔ)值代回切線(xiàn)方程得答案．

解答： 解：（1）∵過(guò)點(diǎn)A（1，a）的圓的切線(xiàn)方程只有一條，則點(diǎn)A在圓x²+y²=4上，
∴1²+a²=4，解得：a=±

3

．
當(dāng)a=-

3

時(shí)，切點(diǎn)A（1，-

3

），kOA=-

3

，切線(xiàn)的斜率為

3

3

，切線(xiàn)方程為y+

3

=

3

3

(x-1)，
整理得，x-

3

y-4=0；
當(dāng)a=

3

時(shí)，切點(diǎn)A（1，

3

），kOA=

3

，切線(xiàn)的斜率為-

3

3

，切線(xiàn)方程為y-

3

=-

3

3

(x-1)，
整理得，x+

3

y-4=0；
（2）由題意設(shè)切線(xiàn)方程為x+y=m，則1+a=m，∴直線(xiàn)方程為x+y-a-1=0，
由圓心（0，0）到切線(xiàn)的距離等于半徑得：

|-a-1|

2

=2，解得a=-1-2

2

或a=-1+2

2

．
當(dāng)a=-1-2

2

時(shí)，切線(xiàn)方程為：x+y+2

2

=0；
當(dāng)a=-1+2

2

時(shí)，切線(xiàn)方程為：x+y-2

2

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線(xiàn)方程的求法，涉及圓的切線(xiàn)方程為題，常用圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑解決，是中檔題．