Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，給出以下結(jié)論：
①DB₁⊥平面ACD₁；
②AD₁∥平面BCC₁；
③AD⊥平面D₁DB；
④平面ACD₁⊥平面B₁D₁D；
⑤AB與DB₁所成的角為45°．
其中所有正確結(jié)論的序號為

 

（請把正確結(jié)論的序號都填上）．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：對于①，推導(dǎo)出DB₁⊥AC，DB₁⊥D₁C，從而得到DB₁⊥平面ACD₁；對于②，由AD₁∥BC₁，得到AD₁∥平面BCC₁；對于③，由AD與DB的夾角為45°，得到AD與平面D₁DB一定不垂直；對于④，由DB₁⊥平面ACD₁，得到平面ACD₁⊥平面B₁D₁D；對于⑤，設(shè)AB=a，則AD₁=

2

，BD₁=

3

，所以AB與DB₁所成的角為90°．

解答： 解：對于①，連結(jié)BD，則BD⊥AC，又BB₁⊥AC，
∴AC⊥平BDB₁，∴DB₁⊥AC，
同理，DB₁⊥D₁C，∴DB₁⊥平面ACD₁，故①正確；
對于②，∵AD₁∥BC₁，
AD₁不包含于平面ACD₁，BC₁?平面ACD₁，
∴AD₁∥平面BCC₁，故②正確；
對于③，∵AD與DB的夾角為45°，DB?平面D₁DB，
∴AD與平面D₁DB一定不垂直，故③不正確；
對于④，∵DB₁⊥平面ACD₁，DB₁?B₁D₁D，
∴平面ACD₁⊥平面B₁D₁D，故④正確；
對于⑤，設(shè)AB=a，則AD₁=

2

，BD₁=

3

，
∴AB與DB₁所成的角為90°，故⑤不正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查直線與平面、平面與平南的位置關(guān)系的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．