Question

10．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|+a|x+2|．當a=1時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[1，+∞）；當a=-1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-2，1]，f（x）的值域為[$\frac{1}{8}$，8]．

Answer 1

分析 當a=1時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|+|x+2|，令u（x）=|x-1|+|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x≥1}\\{3，-2≤x≤1}\\{-2x-1，x＜-2}\end{array}\right.$，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；當a=-1時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|-|x+2|令u（x）=|x-1|-|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x≥1}\\{-2x-1，-2≤x＜2}\\{3，x≤-2}\end{array}\right.$，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷即可．

解答 解：（1）∵f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|+a|x+2|．
∴當a=1時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|+|x+2|，
令u（x）=|x-1|+|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x≥1}\\{3，-2≤x≤1}\\{-2x-1，x＜-2}\end{array}\right.$，
∴u（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷：f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[1，+∞），
（2）當a=-1時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|-|x+2|
令u（x）=|x-1|-|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x≥1}\\{-2x-1，-2≤x＜2}\\{3，x≤-2}\end{array}\right.$，
u（x）在[-2，1]單調(diào)遞減，
∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷：f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-2，1]，f（x）的值域為[$\frac{1}{8}$，8]．
故答案為：[1，+∞）；[-2，1]；[$\frac{1}{8}$，8]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，屬于中檔題，關(guān)鍵是去絕對值．