Question

已知a，b為兩個(gè)正數(shù)，且a＞b，設(shè)a1=

a+b

2

，b1=

ab

，當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，an=

an-1+bn-1

2

，bn=

an-1bn-1

．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列；
（Ⅱ）求證：an+1-bn+1＜

1

2

(an-bn)；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}前n項(xiàng)和分別為S_nT_n，求證：S_n＜T_n+2（a+b）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的函數(shù)特性,數(shù)列的求和

專題：證明題

分析：（I）易知對(duì)任意n∈N^*，a_n＞0，b_n＞0．根據(jù)基本不等式可知對(duì)任意n∈N^*，a_n＞b_n，an+1-an=

an+bn

2

-an判定符號(hào)可得數(shù)列{a_n}的單調(diào)性，bn+1-bn=

anbn

-bn=

bn

(

an

-

bn

)＞0，從而得到數(shù)列{b_n}的單調(diào)性； 
（II）根據(jù)題意可知an+1-bn+1=

an+bn

2

-

anbn

，然后利用放縮法即可證得結(jié)論；
（III）根據(jù)（II）可得an-bn＜(a-b)•(

1

2

)n-1，從而

Sn-Tn＜(a+b)(1+ 1 2 +…+( 1 2 )n-1)

，最后利用放縮法即可證得結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：易知對(duì)任意n∈N^*，a_n＞0，b_n＞0．
由a≠b，可知

a+b

2

＞

ab

，即a₁＞b₁．
同理，

a1+b1

2

＞

a1b1

，即a₂＞b₂．
可知對(duì)任意n∈N^*，a_n＞b_n．an+1-an=

an+bn

2

-an=

bn-an

2

＜0，
所以數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．bn+1-bn=

anbn

-bn=

bn

(

an

-

bn

)＞0，
所以數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列．              …（5分）
（Ⅱ）證明：an+1-bn+1=

an+bn

2

-

anbn

＜

an+bn

2

-

bnbn

＜

1

2

(an-bn)．…（10分）
（Ⅲ）解：由an+1-bn+1＜

1

2

(an-bn)，可得an-bn＜(a-b)•(

1

2

)n-1．

Sn-Tn＜(a+b)(1+ 1 2 +…+( 1 2 )n-1). ＜(a+b)(2-( 1 2 )n)＜2(a-b)

∴S_n＜T_n+2（a+b）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的單調(diào)性的判定，以及利用放縮法證明不等式，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．