Question

f（x）=x-lnx
（1）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（x）=x-alnx在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到單調(diào)增、減區(qū)間；
（2）g（x）=x-alnx在[1，+∞）上單調(diào)遞增，等價于g′（x）≥0恒成立，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；

解答： 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）的單調(diào)遞減求解是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）；
（2）g′（x）=1-

a

x

，
g（x）=x-alnx在[1，+∞）上單調(diào)遞增，等價于g′（x）≥0恒成立，即a≤x恒成立，
∵x≥1，∴a≤1．

點(diǎn)評：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決恒成立問題的常用方法．