Question

如圖，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于點D．
（Ⅰ）證明：DB=DC；
（Ⅱ）設(shè)圓的半徑為1，BC=

3

，延長CE交AB于點F，求△BCF外接圓的半徑．

Answer 1

考點：圓的切線的性質(zhì)定理的證明

專題：立體幾何

分析：（I）如圖所示，連接DE．由于DB垂直BE交圓于點D，可得∠DBE=90°．即DE為圓的直徑．由于∠ABC的角平分線BE交圓于點E，利用同圓中的弧圓周角弦之間的關(guān)系可得∠DCB=∠DBC，DB=DC．
（II）由（I）利用垂徑定理及其推論可得：DE⊥BC，且平分BC，設(shè)中點為M，外接圓的圓心為點O．連接OB，OC，可得OB⊥AB．在Rt△BOM中，可得∠OBM=30°，∠BOE=60°．進而得到∠CBA=60°．∠BCE=30°，∠BFC=90°．即可得到△BCF外接圓的半徑=

1

2

BC．

解答： （I）證明：如圖所示，連接DE．
∵DB垂直BE交圓于點D，∴∠DBE=90°．
∴DE為圓的直徑．
∵∠ABC的角平分線BE交圓于點E，
∴

BE

=

CE

，
∴

DB

=

DC

，
∴∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC．
（II）解：由（I）可知：DE⊥BC，且平分BC，設(shè)中點為M，外接圓的圓心為點O．
連接OB，OC，則OB⊥AB．
在Rt△BOM中，OB=1，BM=

1

2

BC=

3

2

．
∴∠OBM=30°，∠BOE=60°．
∴∠CBA=60°．
∴∠BCE=

1

2

∠BOE=30°．
∴∠BFC=90°．
∴△BCF外接圓的半徑=

1

2

BC=

3

2

．

點評：本題綜合考查了圓的切線的性質(zhì)、同圓中的弧圓周角弦之間的關(guān)系、垂徑定理及其推論、直角三角形外接圓的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．