Question

已知函數(shù)f（x）=3x+a與函數(shù)g（x）=3x+2a在區(qū)間（b，c）上都有零點，則

a2+2ab+2ac+4bc

b2-2bc+c2

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=3x+a，與函數(shù)g（x）=3x+2a在區(qū)間（b，c）上都有零點，可得a+2b＜0，a+2c＞0恒成立，進(jìn)而根據(jù)

a2+2ab+2ac+4bc

b2-2bc+c2

=

(a+2b)(a+2c)

(b-c)2

=

4(a+2b)(a+2c)

[(a+2b)-(a+2c)]2

，結(jié)合基本不等式可得

a2+2ab+2ac+4bc

b2-2bc+c2

的最小值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=3x+a，與函數(shù)g（x）=3x+2a在區(qū)間（b，c）上都有零點，且f（x）與g（x）均為增函數(shù)
∴f（b）=3b+a＜0，即b＜-

a

3

，
g（b）=3b+2a＜0，即b＜-

2a

3

，
f（c）=3c+a＞0，即c＞-

a

3

，
g（c）=3c+2a＞0，即c＞-

2a

3

，
∵當(dāng)a＞0時，a+2b＜0，a+2c＞0，
當(dāng)a＜0時，a+2b＜0，a+2c＞0，
當(dāng)a=0時，a+2b＜0，a+2c＞0，
即a+2b＜0，a+2c＞0恒成立，即-a-2b＞0，a+2c＞0恒成立，
∴

a2+2ab+2ac+4bc

b2-2bc+c2

=

(a+2b)(a+2c)

(b-c)2

=

(a+2b)(a+2c)

1 4 [(a+2b)-(a+2c)]2

=

4(a+2b)(a+2c)

[(a+2b)-(a+2c)]2

=

4(a+2b)(a+2c)

(a+2b)2+(a+2c)2-2(a+2b)(a+2c)

=

4(a+2b)(a+2c)

(a+2b)2+(a+2c)2+2(-a-2b)(a+2c)

≥

4(a+2b)(a+2c)

4(-a-2b)(a+2c)

=-1，
∴

a2+2ab+2ac+4bc

b2-2bc+c2

的最小值為-1，
故答案為：-1

點評：本題考查的知識點是函數(shù)零點的判定定理，基本不等式，其中對式子

a2+2ab+2ac+4bc

b2-2bc+c2

=

(a+2b)(a+2c)

(b-c)2

=

4(a+2b)(a+2c)

[(a+2b)-(a+2c)]2

的分解變形是解答的關(guān)鍵．