已知函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),且 xf′(x)-f(x)>0在(0,+∞)上恒成立.
(1)求函數(shù)F(x)=
f(x)
x
的單調(diào)區(qū)間.
(2)若函數(shù)f(x)=lnx+ax2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍
(3)設(shè)x0是f(x)的零點(diǎn),m,n∈(0,x0),求證:
f(m+n)
f(m)+f(n)
<1.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)對(duì)F(x)求導(dǎo),根據(jù)條件便能判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào),從而找到它的單調(diào)區(qū)間.
(2)求a的取值范圍,所以想著找到關(guān)于a的不等式,并且使不等式一邊是a,另一邊是其它量.將f(x)帶入 xf′(x)-f(x)>0中,便能得到a>
1-lnx
x2
,只要讓a大于
1-lnx
x2
的最大值即可,所以轉(zhuǎn)而求該函數(shù)的最大值.
(3)看到要證的不等式,應(yīng)該想到利用F(x)的單調(diào)性,由m+n>m,m+n>n,便可出現(xiàn)f(m+n),f(m),f(n),然后想辦法出現(xiàn)
f(m+n)
f(m)+f(n)
,從而得出證明.
解答: 解:(1)根據(jù)題意,對(duì)于x∈(0,+∞),F(xiàn)′(x)=
xf′(x)-f(x)
x2
>0;
∴F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,(0,+∞)是F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)f′(x)=
1
x
+2ax
,
x(
1
x
+2ax)-lnx-ax2>0
;
∴ax2-lnx+1>0;
a>
lnx-1
x2
,
令g(x)=
lnx-1
x2
,g′(x)=
3-2lnx
x3

3-2lnx
x3
=0
得:x=e
3
2
;
∴x∈(0,e
3
2
)時(shí),g′(x)>0;x∈(e
3
2
,+∞)時(shí),g′(x)<0;
∴x=e
3
2
時(shí),g(x)取到極大g(e
3
2
)=
1
2
e-
3
2
,也是最大值;
∴a的取值范圍是(
1
2
e-
3
2
,+∞).
(3)根據(jù)(1)知在(0,x0)上,
f(x)
x
是增函數(shù),
∴x∈(0,x0)時(shí),
f(x)
x
f(x0)
x0
=0,∴f(x)<0;
∵m+n>m,m+n>n
f(m+n)
m+n
f(m)
m
f(m+n)
m+n
f(n)
n

f(m)<
mf(m+n)
m+n
   ①f(n)<
nf(m+n)
m+n
     ②.
∴①+②得:f(m)+f(n)>
mf(m+n)
m+n
+
nf(m+n)
m+n
=f(m+n).
f(m+n)
f(m)+f(n)
<1
點(diǎn)評(píng):考查的知識(shí)點(diǎn)有:根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,尋找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值;函數(shù)的零點(diǎn)以及單調(diào)性的定義.第二問的關(guān)鍵是解出a>
1-lnx
x2
,第三問的關(guān)鍵是出現(xiàn)
f(m+n)
 m+n
f(m)
m
f(m+n)
m+n
f(n)
n
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=2an+2,n∈N*
(Ⅰ)證明數(shù)列{an+2}是等比數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Sn

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如圖,四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形,BC=2
2
,O為BD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角A-PB-C的余弦值.

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學(xué)校訂集了21000本學(xué)生用書,它們分別來自一、二、三年級(jí),現(xiàn)在采用分層抽樣的方法對(duì)這批書進(jìn)行檢查.已知從一、二、三年級(jí)抽取的本數(shù)分別為x,y,z,且滿足2y=x+z,則這批書中二年級(jí)有
 
本.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知|
a
|=1,|
b
|=2,
a
b
的夾角為60°,求:
(1)
a
b
方向上的投影;
(2)
c
a
+
b
d
=
a
+2
b
的夾角為銳角,求λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在乒乓球比賽中,甲與乙以“五局三勝”制進(jìn)行比賽,根據(jù)以往比賽情況,甲在每一局勝乙的概率均為
3
5
.已知比賽中,乙先贏了第一局,求:
(1)甲在這種情況下取勝的概率;
(2)設(shè)比賽局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望(均用分?jǐn)?shù)作答).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
=(1+cosx,1),
b
=(1+sinx,m).
(1)若m=1,且
a
b
時(shí),求x的值;
(2)記f(x)=
a
b
,若f(x)>0對(duì)任意的x∈R恒成立,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別為A1B1,CC1的中點(diǎn).
(1)求B到平面AMN的距離
(2)求二面角B-AM-N的余弦值.

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已知正數(shù)x,y的等差中項(xiàng),等比中項(xiàng)的平方,1構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,那么x+y的取值范圍是
 

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