Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且 xf′（x）-f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立．
（1）求函數(shù)F（x）=

f(x)

x

的單調(diào)區(qū)間．
（2）若函數(shù)f（x）=lnx+ax²，求實數(shù)a的取值范圍
（3）設(shè)x₀是f（x）的零點，m，n∈（0，x₀），求證：

f(m+n)

f(m)+f(n)

＜1．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）對F（x）求導(dǎo)，根據(jù)條件便能判斷導(dǎo)數(shù)的符號，從而找到它的單調(diào)區(qū)間．
（2）求a的取值范圍，所以想著找到關(guān)于a的不等式，并且使不等式一邊是a，另一邊是其它量．將f（x）帶入 xf′（x）-f（x）＞0中，便能得到a＞

1-lnx

x2

，只要讓a大于

1-lnx

x2

的最大值即可，所以轉(zhuǎn)而求該函數(shù)的最大值．
（3）看到要證的不等式，應(yīng)該想到利用F（x）的單調(diào)性，由m+n＞m，m+n＞n，便可出現(xiàn)f（m+n），f（m），f（n），然后想辦法出現(xiàn)

f(m+n)

f(m)+f(n)

，從而得出證明．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，對于x∈（0，+∞），F(xiàn)′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0；
∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，（0，+∞）是F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）f′（x）=

1

x

+2ax，
∴x(

1

x

+2ax)-lnx-ax2＞0；
∴ax²-lnx+1＞0；
∴a＞

lnx-1

x2

，
令g（x）=

lnx-1

x2

，g′（x）=

3-2lnx

x3

，
令

3-2lnx

x3

=0得：x=e

3

2

；
∴x∈（0，e

3

2

）時，g′（x）＞0；x∈（e

3

2

，+∞）時，g′（x）＜0；
∴x=e

3

2

時，g（x）取到極大g（e

3

2

）=

1

2

e-

3

2

，也是最大值；
∴a的取值范圍是（

1

2

e-

3

2

，+∞）．
（3）根據(jù)（1）知在（0，x₀）上，

f(x)

x

是增函數(shù)，
∴x∈（0，x₀）時，

f(x)

x

＜

f(x0)

x0

=0，∴f（x）＜0；
∵m+n＞m，m+n＞n
∴

f(m+n)

m+n

＞

f(m)

m

，

f(m+n)

m+n

＞

f(n)

n

．
∴f(m)＜

mf(m+n)

m+n

   ①f(n)＜

nf(m+n)

m+n

     ②．
∴①+②得：f(m)+f(n)＞

mf(m+n)

m+n

+

nf(m+n)

m+n

=f（m+n）．
∴

f(m+n)

f(m)+f(n)

＜1．

點評：考查的知識點有：根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，尋找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值；函數(shù)的零點以及單調(diào)性的定義．第二問的關(guān)鍵是解出a＞

1-lnx

x2

，第三問的關(guān)鍵是出現(xiàn)

f(m+n)  m+n ＞ f(m) m f(m+n) m+n ＞ f(n) n

．