Question

10．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x＜0時，f（x）滿足2f（x）+xf′（x）＜xf（x），則f（x）在R上的零點的個數(shù)為0．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$ （x＜0），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$ （x＜0），
則F′（x）=$\frac{2xf（x）{e}^{x}+{x}^{2}f′（x）{e}^{x}-{x}^{2}f（x）{e}^{x}}{{（e}^{x}）^{2}}$=$\frac{x[2f（x）+xf′（x）-xf（x）]}{{e}^{x}}$，
∵當(dāng)x＜0時，f（x）滿足2f（x）+xf′（x）＜xf（x），
∴F′（x）＞0，
即函數(shù)F（x）在x＜0時是增函數(shù)，
又F（0）=0，
∴當(dāng)x＜0，F(xiàn)（x）＜F（0）=0成立，
∵對任意x＜0，$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$＞0，∴f（x）＜0，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴x＞0時，f（x）＞0，
即f（x）=0只有一個根就是0．
故答案為：0

點評 本題考查了函數(shù)零點個數(shù)求解；根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．