Question

10．證明：若2^-x-2^y＞lnx-1n（-y）（x＞0，y＜0），則x+y＜0．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（t）=2^-t-lnt，t∈（0，+∞），根據(jù)該函數(shù)的單調(diào)性證明不等式．

解答 證明：將不等式2^-x-2^y＞lnx-1n（-y）化為：
2^-x-lnx＞2^y-ln（-y），---------①
構(gòu)造函數(shù)F（t）=2^-t-lnt，t∈（0，+∞），
顯然，F(xiàn)（t）為定義域上的減函數(shù)，
因?yàn)閤＞0，y＜0，所以，-y＞0，
故F（x）=2^-x-lnx，F(xiàn)（-y）=2^y-ln（-y），
由①式得，F(xiàn)（x）＞F（-y），
且F（t）為定義域上的減函數(shù)，
因此，x＜-y，
即x+y＜0，證畢．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，涉及指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和構(gòu)造法，體現(xiàn)了函數(shù)的思想，屬于中檔題．