Question

5．如圖1所示，在邊長為12的正方形AA′A′₁A₁中，點B，C在線段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分別交A₁A₁′、AA₁′于點B₁、P，作CC₁∥AA₁，分別交A₁A₁′、AA₁′于點C₁、Q，將該正方形沿BB₁、CC₁折疊，使得$A'{A_1}^′$與AA₁重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．

（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求證：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）求平面APQ將三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下兩部分幾何體的體積之比；
（3）試判斷直線AQ是否與平面A₁C₁P平行，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，要證：AB⊥平面BCC₁B₁；只需證明AB垂直平面內(nèi)的兩條相交直線，BC和BB₁即可．
（2）求平面APQ將三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下兩部分幾何體的體積之比，先求下部四棱錐的體積，再求棱柱的體積，然后求出兩部分體積比．
（3）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法能求出直線AQ與平面A₁C₁P不平行．

解答 證明：（1）∵AB=3，BC=4，
∴AC=12-3-4=5，
從而有AC²=AB²+BC²，∴AB⊥BC，
又∵AB⊥BB₁，BC∩BB₁=B，
∴AB⊥平面BCC₁B₁．
解：（2）∵BP=AB=3，CQ=AC=7，
∴S_BCQP=$\frac{（BP+CQ）•BC}{2}$=$\frac{（3+7）×4}{2}$=20，
∴V_A-BCQP=$\frac{1}{3}{S}_{BCQP}•AB=\frac{1}{3}×20×3$=20．
又∵${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S_ABC•AA₁=$\frac{1}{2}×3×4×12=72$，
∴平面APQ將三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下兩部分幾何體的體積之比為：$\frac{{V}_{上}}{{V}_{下}}$=$\frac{72-20}{20}=\frac{13}{5}$．
（3）直線AQ與平面A₁C₁P不平行．
理由如下：
以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（3，0，0），Q（0，4，7），A₁（3，0，12），C₁（0，5，12），P（0，0，3），
$\overrightarrow{AQ}$=（-3，4，7），$\overrightarrow{P{A}_{1}}$=（3，0，9），$\overrightarrow{P{C}_{1}}$=（0，5，9），
設(shè)平面A₁C₁P的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{P{A}_{1}}=3x+9z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{P{C}_{1}}=5y+9z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，$\frac{9}{5}$，-1），
∵$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{n}$=-9+$\frac{36}{5}$-7=$\frac{46}{5}$≠0，
∴直線AQ與平面A₁C₁P不平行．

點評 本題考查直線與平面垂直，棱錐、棱柱的體積求法，考查線面是否平行的判斷，考查空間想象能力，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．