如圖，已知橢圓C1：
x2
8
+
y2
4
=1的焦點分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線C2：
x2
4
-
y2
4
=1，設P
為雙曲線上異于頂點的任意一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，求：k1•k2的值；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．
考點：圓錐曲線的綜合
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）求出直線PF1、PF2的斜率，利用P為雙曲線
x2
4
-
y2
4
=1上異于頂點的任意一點，化簡即可得出結(jié)論．
（Ⅱ）問題等價于
1
|AB|
+
1
|CD|
=λ，即
1
|AB|
+
1
|CD|
是否是定值問題，利用韋達定理求得弦長，化簡，即可得到結(jié)論．
解答： 解：（Ⅰ）設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），則k1=
y0
x0+2
，k2=
y0
x0-2
．
∵P為雙曲線
x2
4
-
y2
4
=1上異于頂點的任意一點，
∴x02-y02=4，
∴k1k2=
y0
x0+2
•
y0
x0-2
=
y02
x02-4
=1，即k1•k2=1；
（Ⅱ）由于直線PF1的方程是y=k1（x+2），代入橢圓方程并整理得（1+2k12）x2+8k12x+8k12-8=0．
∴x1+x2=-
8k12
2k12+1
，x1x2=
8k12-8
2k12+1

∴|AB|=
1+k12
•
(x1+x2)2-4x1x2
=4
2
•
k12+1
2k12+1

同理可得|CD|=4
2
•
k22+1
2k22+1
．
 則
1
|AB|
+
1
|CD|
=
1
4
2
•(
2k12+1
k12+1
+
2k22+1
k22+1
)
又k1k2=1
∴
1
|AB|
+
1
|CD|
=
1
4
2
(
2k12+1
k12+1
+
k12+2
k12+1
)=
3
2
8

故|AB|+|CD|=
3
2
8
|AB|•|CD|
因此，存在λ=
3
2
8
，使|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．
點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=x2+
1
x
-a(x≠0)，a為常數(shù)且a＞2，則f（x）的零點個數(shù)是（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm），那么可得這個幾何體的體積是（　�。�
A、
1
3
cm3
B、
2
3
cm3
C、
4
3
cm3
D、
8
3
cm3

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一個數(shù)字變換機，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表：
輸入 … 1 2 3 4 5 …
輸出 …
1
4
2
7
3
10
4
13
5
16
 …
當輸入數(shù)8時，輸出的數(shù)據(jù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC內(nèi)一點O滿足關(guān)系式2
OA
+
OB
+3
OC
=
0
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A、1：6B、1：3
C、1：2D、5：6

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①若A=[1，2]，求S∩T
②若A=[0，m]且S=T，求實數(shù)m的值
③若對于集合A的任意一個數(shù)x的值都有f（x）=g（x），求集合A．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1-x2
，-1≤x≤1，則
∫
1
-1
f(x)dx=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若f（x）=（m-2）x2+mx+4 （x∈R）是偶函數(shù)，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a是函數(shù)f（x）=|x2-4|-lnx在定義域內(nèi)的最小零點，若0＜x0＜a，則f（x0）的值滿足（　�。�
A、f（x0）＞0
B、f（x0）＜0
C、f（x0）=0
D、f（x0）的符號不確定

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