Question

如圖，已知橢圓C₁：

x2

8

+

y2

4

=1的焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，雙曲線C₂：

x2

4

-

y2

4

=1，設(shè)P
為雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，求：k₁•k₂的值；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出直線PF₁、PF₂的斜率，利用P為雙曲線

x2

4

-

y2

4

=1上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論．
（Ⅱ）問(wèn)題等價(jià)于

1

|AB|

+

1

|CD|

=λ，即

1

|AB|

+

1

|CD|

是否是定值問(wèn)題，利用韋達(dá)定理求得弦長(zhǎng)，化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），則k1=

y0

x0+2

，k2=

y0

x0-2

．
∵P為雙曲線

x2

4

-

y2

4

=1上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，
∴x02-y02=4，
∴k1k2=

y0

x0+2

•

y0

x0-2

=

y02

x02-4

=1，即k₁•k₂=1；
（Ⅱ）由于直線PF₁的方程是y=k₁（x+2），代入橢圓方程并整理得（1+2k₁²）x²+8k₁²x+8k₁²-8=0．
∴x₁+x₂=-

8k12

2k12+1

，x₁x₂=

8k12-8

2k12+1

∴|AB|=

1+k12

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4

2

•

k12+1

2k12+1

同理可得|CD|=4

2

•

k22+1

2k22+1

．
 則

1

|AB|

+

1

|CD|

=

1

4 2

•(

2k12+1

k12+1

+

2k22+1

k22+1

)
又k₁k₂=1
∴

1

|AB|

+

1

|CD|

=

1

4 2

(

2k12+1

k12+1

+

k12+2

k12+1

)=

3 2

8

故|AB|+|CD|=

3 2

8

|AB|•|CD|
因此，存在λ=

3 2

8

，使|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．