Question

如圖所示，由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁與正四面體D-ABC組成的幾何體中，AA₁=1，AB=2，O₁是正三角形A₁B₁C₁的中心
（I）求證：DO₁⊥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求平面ACD與平面AA₁B₁B所成的二面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）連結O₁A₁，由已知條件得

A1B1

•

O1D

=0，從而O₁D⊥A₁B₁，同理，O₁D⊥B₁C₁，由此能證明DO₁⊥平面A₁B₁C₁．
（Ⅱ）以A₁為原點，A₁C₁為y軸，A₁A為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面ACD與平面AA₁B₁B所成的二面角（銳角）的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連結O₁A₁，依題意有|O₁A₁|=

2 3

3

，

O1D

=

O1A1

+

A1A

+

AD

，
∴

A1B1

•

O1D

=

A1B1

•（

O1A1

+

A1A

+

AD

）
=

A1B1

•

O1A1

+

A1B1

•

A1A

+

A1B1

•

AD

=2×

2 3

3

×cos150°+

AB

•

AD

=-2+2×2×cos60°=0，
∴O₁D⊥A₁B₁，同理，O₁D⊥B₁C₁，
又A₁B₁∩B₁C₁=B₁，
∴DO₁⊥平面A₁B₁C₁．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DO₁經過△ABC的中心O，
連結AO，則AO=

2 3

3

，DO=

2 6

3

，
以A₁為原點，A₁C₁為y軸，A₁A為z軸，建立空間直角坐標系，
則A₁（0，0，0），A（0，0，1），B1(

3

，1，0)，C(0，2，1)，
D（

3

3

，1，

2 6

3

+1），
∴

A1B1

=（

3

，1，0），

A1A

=（0，0，1），

AC

=(0，2，0)，

AD

=（

3

3

，1，

2 6

3

），
設平面AA₁B₁B的一個法向量為

n

=（x，y，z），
由

n

⊥

A1A

，

n

⊥

A1B1

，得：

z=0 3 x+y=0

，令x=1，得

n

=（-2

2

，0，1），
同理求得平面ACD的一個法向量為

m

=（-2

2

，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

-2 2

2×3

=-

2

3

．
∴平面ACD與平面AA₁B₁B所成的二面角（銳角）的余弦值為

2

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面所成二面角的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．