Question

已知直線(xiàn)l：y=2x-4被拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）截得的弦長(zhǎng)|AB|=3

5

．
（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）若拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)為F，求三角形ABF的面積．

Answer 1

分析：（1）把直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式即可得出p；
（2）利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可得出．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵

y=2x-4 y2=2px

⇒2x2-(8+p)x+8=0
而|AB|=3

5

即(3

5

)2=(1+22)[(

8+p

2

)2-4×4]
∴p=2
故拋物線(xiàn)C的方程為：y²=4x．
（2）由（1）知F（1，0），
∴點(diǎn)F到AB的距離d=

2

5

，
∴S△ABF=

1

2

d|AB|=

1

2

×

2

5

×3

5

=3．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式等是解題的關(guān)鍵．