Question

設(shè)a∈R，關(guān)于x的一元二次方程7x²-（a+13）x+a²-a-2=0有兩實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2．
（1）求a的取值范圍；
（2）比較a³與a²-a+1的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,不等式比較大小

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)一元二次方程根的分布關(guān)系，建立條件關(guān)系，即可求a的取值范圍；
（2）利用作差法，即可比較a³與a²-a+1的大�。�

解答： 解：（1）記函數(shù)f（x）=7x²-（a+13）x+a²-a-2，其圖象是一條開口向上的拋物線，
一元二次方程7x²-（a+13）x+a²-a-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂即為函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，則
若0＜x₁＜1＜x₂＜2，則

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，
即

a2-a-2＞0 a2-2a-8＜0 a2-3a＞0

，∴

a＞2或a＜-1 -2＜a＜4 a＞3或a＜0

，
∴-2＜a＜-1，或3＜a＜4，
即滿足條件時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2＜a＜-1，或3＜a＜4．
（2）∵a³-（a²-a+1）=（a³-a²）+（a-1）=（a-1）（a²+1）
∴當(dāng)3＜a＜4時(shí)，a-1＞0，則a³＞a²-a+1；
當(dāng)-2＜a＜-1時(shí)，a-1＜0，則a³＜a²-a+1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根的分布，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．