Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=1，D為A₁C₁的中點，線段B₁C上的點M滿足向量

B1M

=λ

B1C

，若

AD

與

BM

的夾角小于45°，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．A（0，-1，1），D(

3

2

，-

1

2

，0)，B（0，1，1），B₁（0，1，0），C(

3

，0，1)．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得點M的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式即可得出．

解答： 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
A（0，-1，1），D(

3

2

，-

1

2

，0)，B（0，1，1），B₁（0，1，0），C(

3

，0，1)．
∵

B1M

=λ

B1C

，（λ∈[0，1]）．
∴

OM

=

OB1

+λ(

OC

-

OB1

)=(1-λ)

OB1

+λ

OC

=（1-λ）（0，1，0）+λ(

3

，0，1)=(

3

λ，1-λ，λ)．

AD

=(

3

2

，

1

2

，-1)，

BM

=(

3

λ，-λ，λ-1)．
∴

AD

•

BM

=

3

2

λ-

1

2

λ+1-λ=1，|

AD

|=

2

，|

BM

|=

5λ2-2λ+1

∵

AD

與

BM

的夾角小于45°，
∴

AD • BM

| AD | | BM|

≥cos45°，
∴

1

2 • 5λ2-2λ+1

≥

2

2

，
化為5λ²-2λ≤0，解得0≤λ≤

2

5

．
∴λ的取值范圍是[0，

2

5

]．

點評：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的夾角公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了計算能力，屬于中檔題．