Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+3x+2（a∈R）的一個(gè)極值點(diǎn)是1．
（Ⅰ） 求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-2，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）由于函數(shù)f（x）=ax³+3x+2（a∈R）的一個(gè)極值點(diǎn)是1．可得f′（1）=0，即可得到a．再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出切線的斜率，進(jìn)而得出切線方程．
（II）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，再計(jì)算出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值即可比較出最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+3x+2，
∴f'（x）=3ax²+3．
∵函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)是1，
∴f'（1）=3a+3=0．
解得：a=-1．
經(jīng)檢驗(yàn)，a=-1滿足題意．
∴f（x）=-x³+3x+2，
∴f（2）=0，f'（2）=-9．
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程是y=-9（x-2），即9x+y-18=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f'（x）=-3x²+3．
令f'（x）=0，得 x₁=-1，x₂=1．
當(dāng)x在[-2，3]上變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，3）	3
f'（x）		-	0	+	0	-
f（x）	4	↘	0	↗	4	↘	-16

∴函數(shù)f（x）在[-2，3]上的最大值為4，最小值為-16．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．