已知橢圓C1，拋物線C2的焦點均在y軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點O，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：
x0-1
2
4
y-2
2
1
16
-21
（1）求C1，C2的標準方程；
（2）設斜率不為0的動直線l與C1有且只有一個公共點P，且與C2的準線相交于點Q，試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
考點：拋物線的簡單性質
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）設C1，C2的標準方程分別為：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0），x2=my，將（4，1）和（-1，
1
16
）代入拋物線方程得到的解相同，可得拋物線方程，從而可知另外兩點在橢圓C1上，代入坐標，即可求出C1，C2的標準方程；
（2）設直線l的方程為x=my+n將其代入
y2
8
+
x2
4
=1，消去x并化簡整理，利用動直線l與C1有且只有一個公共點P，可得n2=4（1+2m2），直線l與C2的準線相交于點Q（n-4m，-4），可得以PQ為直徑的圓的方程為（x-
4
n
）（x-n+4m）+（y+
8m
n
）（y+4）=0，化簡并整理，令x=0，即可得出結論．
解答： 解：（1）設C1，C2的標準方程分別為：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0），x2=my，
將（4，1）和（-1，
1
16
）代入拋物線方程得到的解相同，且m=16；
（0，-2
2
）和（
2
，-2）在橢圓上，代入橢圓方程得a=2
2
，b=2，
故C1，C2的標準方程分別為
y2
8
+
x2
4
=1，x2=16y（6分）
（2）設直線l的方程為x=my+n將其代入
y2
8
+
x2
4
=1，消去x并化簡整理得
（1+2m2）y2+4mny+2n2-8=0．
∵動直線l與C1有且只有一個公共點P，
∴△=0，可得n2=4（1+2m2）（8分），
設切點P（x0，y0），則y0=-
8m
n
，x0=
4
n
．
又直線l與C2的準線相交于點Q（n-4m，-4），
∴以PQ為直徑的圓的方程為（x-
4
n
）（x-n+4m）+（y+
8m
n
）（y+4）=0（10分），
化簡并整理得x2-
4
n
x+（4m-n）x+
8m
n
（y+2）+（y+2）2=0恒成立，
故x=0，y=-2，即存在定點M（0，-2）合題意．（13分）
點評：本題主要考查拋物線的定義與性質、圓的性質、直線與圓錐曲線的位置關系，考查運算能力，考查化歸思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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已知復數(shù)z滿足z-2=
3
（1+z）i，求|
.
z
|．

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已知直線l恒過定點（-1，-1），圓C的方程為x2+y2+2ax-2ay+a2=0（a≠0）．
（1）如果a=2時，直線l被圓C截得的弦長為2
3
，求直線l的方程；
（2）如果圓C上存在不同的兩點到原點的距離都等于1，求實數(shù)a的范圍．

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四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子中．
（1）共有多少種不同的放法？（結果用數(shù)字作答）
（2）若每個盒子均有一球，共有多少種不同的放法？（結果用數(shù)字作答）
（3）恰好有一個盒子為空，共有多少種不同的放法？（結果用數(shù)字作答）

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已知曲線C：x2-
y2
3
=1（x＞0），A（-1，0），F(xiàn)（2，0）
（1）設M為曲線C上x軸上方任一點，求證：∠MFA=2∠MAF；
（2）若曲線C上存在兩點C，D關于直線l：y=-
1
2
x+b對稱，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在過C、A、D、F的圓，且該圓的半徑為
3
2
．如果存在，求出這個圓的方程；如果不存在，說明理由．

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已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，a1=3，前n項和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，b1=1，且b2S2=4，b3S3=
15
4
．
（1）求an與bn；
（2）記數(shù)列（
1
Sn
）的前n項和為Tn，且
lim
n→∞
Tn=T，求使bn≥
T
3
成立的所有正整數(shù)n．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
x+1
ax-1
（a∈R）為奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）設函數(shù)g（x）=f-1（x）+log 
1
3
t存在零點，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）若不等式f（x）-m≥3x在x∈[2，3]上恒成立，求實數(shù)m最大值．

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設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn+1=2an，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）在數(shù)列{an}的每兩項之間都按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后，構成新數(shù)列：an和an+1兩項之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)構成等差數(shù)列，其公差記為dn，求數(shù)列{
1
dn
}的前n項的和Tn．

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曲線y=2sin
1
2
x變換成曲線y=sin
1
3
x的伸縮變換公式是
 
．

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